ヴィーンの放射法則

ヴィーンの放射法則（ヴィーンのほうしゃほうそく、英語: Wien's radiation law）、あるいはヴィーンの公式、ヴィーンの分布式とは、熱輻射により黒体から放出される電磁波のスペクトルを与える理論式である。この法則は1896年にヴィルヘルム・ヴィーンによって導かれた^[1]^[2]。短波長（高周波数）領域における近似式であり、ヴィーン近似とも呼ばれる。長波長（低周波数）領域では実験とずれが生じて記述できないが^[2]、全ての波長領域で正しく記述されるようにプランクの法則の形に修正された。英語の発音に基づくウィーンのカナ表記、呼称も用いられる。

内容

ヴィーンの放射法則によれば、熱力学温度 $T$ の熱平衡にある黒体の輻射による波長 $λ$ で表した放射発散度のスペクトルは

$R_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

で与えられる^[2]。ここで係数 $c 1, c 2$ はそれぞれ第一放射定数、第二放射定数と呼ばれる。波長 $λ$ と周波数 $ν$ の関係 $ν = c / λ$ （ $c$ は光速度）と

$\int _{0}^{\infty }R_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu$

を用いれば、周波数 $ν$ で表したスペクトルは

$R_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる^[3]。

分光放射輝度で表せば、波長で表したスペクトルは

$L_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {1}{\pi }}R(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

となり、周波数で表したスペクトルは

$L_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1L}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる。

性質

ヴィーンの放射法則による分光発散度は

$R(\lambda ,T)={\frac {1}{\lambda ^{5}}}f(\lambda T)$

の形をしている。長波長（低周波数）領域におけるスペクトルの精度の高い近似を与える理論式として、レイリー卿によるレイリー・ジーンズの法則が用いられる^[2]^[3]。レイリーの公式は $f (x)= αx$ の場合として含まれている。

分光発散度を波長で偏微分すると

${\frac {\partial R}{\partial \lambda }}={\frac {T}{\lambda ^{5}}}f'(\lambda T)-{\frac {5}{\lambda ^{6}}}f(\lambda T)={\frac {1}{\lambda ^{6}}}\{(\lambda T)\,f'(\lambda T)-5f(\lambda T)\}$

となる。分光発散度を最大となる波長 $λ max$ は関数 $xf' (x) - 5 f (x)$ の適当な零点 $x = b$ によって

$\lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}$

と表される。ヴィーンの公式では $b = c 2 /5$ となってヴィーンの変位則を説明することができる。しかし、レイリーの公式では $x >0$ において零点を持たず、ヴィーンの変位則を説明できない。

分光発散度を波長 $λ$ で積分した放射発散度は

$R(T)=\int _{0}^{\infty }R(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda ^{5}}}f(\lambda T)\,d\lambda =T^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x^{5}}}f(x)\,dx$

となる。ヴィーンの公式では積分が収束し、シュテファン＝ボルツマンの法則と整合する。しかし、レイリーの公式では積分が収束せず、放射発散度が無限大になってしまう。

長波長の極限 $λ \to\infty$ ではヴィーンの公式では

$R(\lambda ,T)\sim {\frac {1}{\lambda ^{5}}}$

となる。長波長領域で精度の高い近似であるレイリーの公式では $R \sim1/ λ 4$ であり、これと整合しない。ヴィーンの公式は長波長領域では実験を正しく記述できていない。

プランクによる修正

ヴィーンの法則は熱輻射のスペクトルを完全に説明する法則として提案されたものであったが、長波長（低周波数）領域のスペクトルで実験を正しく記述することができなかった。その後まもなくマックス・プランクによりプランクの法則の形で修正された。プランクの法則は全ての波長領域で実験を正しく記述することができた。ヴィーンの法則はプランクの法則の極限として導かれる。

プランクの法則によれば、温度 $T$ の熱平衡における分光放射輝度は

L(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}

で与えられる^[3]。ここで $h$ はプランク定数、 $k$ はボルツマン定数である。

プランクの式において $hν / kT ≫1$ で近似すれば

{\frac {1}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}\sim \mathrm {e} ^{-h\nu /kT}

となり、ヴィーンの式が導かれる^[3]。二つの係数は

c_{1}=2\pi hc^{2}=

3.741771852...×10⁻¹⁶ W⋅m²

c_{1L}=2hc^{2}=

1.191042972...×10⁻¹⁶ W⋅m²⋅sr⁻¹

c_{2}={\frac {hc}{k}}=

1.438776877...×10⁻² m⋅K

として他の物理定数と理論的に関係付けられる。値は全て2018CODATA推奨値である^[4]^[5]^[6]。

出典

^ Mehra and Rechenberg "The Historical Development of Quantum Theory"
^ ^a ^b ^c ^d Bowley and Sánchez "Introductory Statistical Mechanics"
^ ^a ^b ^c ^d Rybicki and Lightman "Radiative Processes in Astrophysics"
^ “first radiation constant”. NIST. 2022年3月6日閲覧。
^ “first radiation constant for spectral radiance”. NIST. 2022年3月6日閲覧。
^ “second radiation constant”. NIST. 2022年3月6日閲覧。

参考文献

朝永振一郎『量子力学１』（第2版）みすず書房、1969年。ISBN 4-622-02551-5。
J. Mehra, H. Rechenberg (1982). “1”. The Historical Development of Quantum Theory. 1. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90642-8
R. Bowley, M. Sánchez (1999). Introductory Statistical Mechanics (2nd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850576-0
G. B. Rybicki, A. P. Lightman (1979). Radiative Processes in Astrophysics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-82759-2

内容

性質

プランクによる修正

出典

参考文献

関連項目