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数学において、アーベル・プラナの公式(英: Abel–Plana formula)は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である[1]。
但し、がにおいて正則であり、について一様に
であることを条件とする。更に
であれば
となる。
はに位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路が実軸をで切るようにすれば、留数の定理により、
である。積分経路の表記を
とすると、
であるが、は仮定により正則であるから、
である。さて、
であり、仮定により
であるから
である。また、
であるから、以上を綜合して
を得る。また、が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
となる。
をを中心としたテイラー級数に、をを中心としたテイラー級数に展開すると、
となるが、最後の積分は
であるから
となり、オイラーの和公式を得る。なお、はベルヌーイ数である。
- ^ Wolfram Mathworld: Abel-Plana Formula