余因子展開

線型代数学における余因子展開（よいんしてんかい、英: cofactor expansion）、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、n × n 行列 B の行列式 |B| の、n 個の B の (n − 1) × (n − 1) 小行列の行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の1つとして理論的に興味深いし、行列式の実際の計算においても有用である。

B の (i, j)-余因子は次で定義されるスカラー C_ij である：

$C_{ij}\ =(-1)^{i+j}M_{ij}\,,$

ただし M_ij は B の (i, j)-小行列式、つまり、B から第 i 行と第 j 列をとり除いて得られる (n − 1) × (n − 1) 行列の行列式である。

すると余因子展開は次で与えられる：

定理 ― B = (b_ij) を n × n 行列とし、任意の i, j ∈ {1, 2, ..., n} を固定する。

するとその行列式 |B| は次で与えられる：

${\begin{aligned}|B|&=b_{i1}C_{i1}+b_{i2}C_{i2}+\cdots +b_{in}C_{in}\\&=b_{1j}C_{1j}+b_{2j}C_{2j}+\cdots +b_{nj}C_{nj}\\&=\sum _{j'=1}^{n}b_{ij'}C_{ij'}=\sum _{i'=1}^{n}b_{i'j}C_{i'j}\end{aligned}}$

例

次の行列を考える：

$B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.$

この行列の行列式はその行あるいは列の任意の1つに沿った余因子展開を用いて計算できる。例えば、第1行に沿って展開すると：

${\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}$

第2列に沿って余因子展開すると同じ値となる：

${\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}$

結果が正しいことを確かめるのは易しい。実際、第1列と第3列を足すと第2列の2倍になるから行列は正則でなく、したがってその行列式は 0 である。

証明

B を n × n 行列とし、i, j ∈ {1, 2, ..., n} とする。簡単のため (i, j)-小行列 M_ij をなす B の成分を $(a_{st})_{1\leq s,t\leq n-1}$ と書く。b_ij を因子に持つ |B| の展開項を考えるとそれらは各々、τ(i) = j を満たす適当な置換 τ ∈ S_n に対する $$\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}$$ の形に書くことができる。ここに τ と同じ小行列式成分をもつように選んだ σ ∈ S_n−1 は明らかに一意に定まり、同様に σ を選べば対応する τ が決まるから、それはつまり対応 σ ↔ τ は S_n−1 と {τ ∈ S_n  |  τ(i) = j} の間の全単射である。τ と σ の間の関係を陽に $$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1\\\tau (1)(\leftarrow )_{j}&\tau (2)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (i+1)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (n)(\leftarrow )_{j}\end{pmatrix}}$$ と書くことにする。ただし、(←)_j は巡回置換 (n, n −1, …, j + 1, j) に関するこの場だけの省略記法で、j より大きなすべての添字を1つ減らす操作（したがって、すべての添字がきちんと集合 {1, 2, …, n − 1} に入る）を意味するものとする。

置換 τ は以下のようにして σ から導出される: 置換 σ′ ∈ S_n を σ′(k) = σ(k) (1 ≤ k ≤ n −1) かつ σ′(n) = n で定めると、σ′ は $$\sigma '={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\\tau (1)(\leftarrow )_{j}&\tau (2)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (i+1)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (n)(\leftarrow )_{j}&n\end{pmatrix}}$$ と表せる。いま、先に (←)_i を施してから σ′ を施す操作は、（置換 A の後に B を施す操作は、置換の二行記法では、A の逆を B の上の行に施すことと同値であることに注意すれば）$$\sigma '(\leftarrow )_{i}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i+1&\cdots &n&i\\\tau (1)(\leftarrow )_{j}&\tau (2)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (i+1)(\leftarrow )_{j}&\cdots &\tau (n)(\leftarrow )_{j}&n\end{pmatrix}}$$ と書ける（ここで (←)_i は (n, n − 1, …, i + 1, i) に関する省略記法である）。τ を施してから (←)_j を施す操作は $$(\leftarrow )_{j}\tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\\tau (1)(\leftarrow )_{j}&\tau (2)(\leftarrow )_{j}&\cdots &n&\cdots &\tau (n-1)(\leftarrow )_{j}&\tau (n)(\leftarrow )_{j}\end{pmatrix}}$$ で、この2つの操作は一致するから、(←)_jτ = σ′(←)_i したがって τ = (→)_jσ′(←)_i を得る（ただし、(→)_j は (←)_j の逆である (j, j + 1, …, n) に対する省略記法である）。さて $$\tau =(j,j+1,\ldots ,n)\sigma '(n,n-1,\ldots ,i)$$ が得られたわけだが、ここに現れる2つの巡回置換はそれぞれ n − 1 個と n − j 個の互換の積にかけるから $$\operatorname {sgn} \tau =(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma$$ であり、また写像 σ ↔ τ が全単射であったから、$${\begin{aligned}\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}&=\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=b_{ij}(-1)^{i+j}\left|M_{ij}\right|\end{aligned}}$$ を得て、ここから所期の結果が従う。

補小行列式展開

余因子展開は次のように一般化できる。

例

行列

$A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{pmatrix}}$

を考える。この行列の行列式は最初の2行に沿った余因子展開を用いて次のように計算できる。まず {1, 2, 3, 4} には2つの相異なる数の集合が6つあることに注意。すなわち

$S=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\right\}$

をそれらの集合とする。

補余因子を

$b_{\{j,k\}}={\begin{vmatrix}a_{1j}&a_{1k}\\a_{2j}&a_{2k}\end{vmatrix}}$,

$c_{\{j,k\}}={\begin{vmatrix}a_{3j}&a_{3k}\\a_{4j}&a_{4k}\end{vmatrix}}$

と定義し、それらの置換の符号を

$\varepsilon ^{\{i,j\},\{p,q\}}=\operatorname {sgn} {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\i&j&p&q\end{pmatrix}}$

と定義することで、A の行列式は

$|A|=\sum _{H\in S}\varepsilon ^{H,H'}b_{H}c_{H'}$

と書き下せる。ただし H′ は H の補集合である。

我々の明示的な例でこれを計算すると次のようになる。

${\begin{aligned}|A|&=b_{\{1,2\}}c_{\{3,4\}}-b_{\{1,3\}}c_{\{2,4\}}+b_{\{1,4\}}c_{\{2,3\}}+b_{\{2,3\}}c_{\{1,4\}}-b_{\{2,4\}}c_{\{1,3\}}+b_{\{3,4\}}c_{\{1,2\}}\\&={\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}11&12\\15&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\5&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&12\\14&16\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&4\\5&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&11\\14&15\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}2&3\\6&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&12\\13&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&11\\13&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&4\\7&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&10\\13&14\end{vmatrix}}\\&=-4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-8)+(-12)\cdot (-4)+(-4)\cdot (-12)-(-8)\cdot (-8)+(-4)\cdot (-4)\\&=16-64+48+48-64+16=0.\end{aligned}}$

上と同様、結果が正しいことを確かめるのは容易である。実際、第1列と第3列を足すと第2列の2倍になるから行列は正則でなく、したがって行列式は 0 である。

一般の主張

B = (b_ij) を n × n 行列とし、S を {1, 2, …, n} の k 元部分集合全体の集合とし、H をその元とする。すると B の行列式は H によって指定される k 個の行に沿って次のように展開できる：

$|B|=\sum _{L\in S}\varepsilon ^{H,L}b_{H,L}c_{H,L}.$

ただし ε^H,L は H と L によって決定される置換の符号で

$(-1)^{\left(\sum _{h\in H}h\right)+\left(\sum _{\ell \in L}\ell \right)}$

に等しく、b_H,L は B から添え字がそれぞれ H と L に属している行と列を除いて得られる B の正方部分行列で、c_H,L（b_H,L の補行列と呼ばれる）は b_H′,L′ と定義される。ここで H′ と L′ はそれぞれ H と L の補集合である。

これは k = 1 のとき冒頭の定理と一致する。同じことは任意の固定された k 個の列に対しても成り立つ。

計算量

余因子展開は高次行列に対しては計算的に非効率的である。なぜならば N × N 行列に対して計算のオーダーは N! だからである。したがって、余因子展開は大きい N に対して適切ではない。LU分解にあるように三角行列への分解を用いて、行列式を N³/3 のオーダーで決定できる。

関連項目

• 行列式のライプニッツの公式

参考文献

• David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, ISBN 0-534-99845-3, p. 265-267 (restricted online copy, p. 265, - Google ブックス)
• Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, ISBN 3-7643-6905-1, p. 57-60 (restricted online copy, p. 57, - Google ブックス)

外部リンク

• cofactor expansion - PlanetMath.（英語）
• Weisstein, Eric W. "Determinant Expansion by Minors". mathworld.wolfram.com (英語).