ドロー＝ファルニー円
初等幾何学におけるドロー＝ファルニー円（ドロー＝ファルニーえん、英: Droz-Farny circle）は、三角形に対して定義される円の一つである。シュタイナーによって提起され、1901年にアーノルド・ドロー＝ファルニーに解決された。
定義
[編集]△ABCの中点三角形を△MAMBMC、垂心をHとする。Hを中心とする円と△MAMBMCのそれぞれの辺の交点と対応する基準三角形の頂点との距離dはすべて等しい。この円をドロー＝ファルニー円（Droz-Farny circles）という[1]。
dが外接円半径Rに一致するとき、特に第一ドロー＝ファルニー円（First Droz-Farny circle）という[2]。
性質
[編集]基準三角形△ABCの外心をO、垂心三角形を△HAHBHCとする。それぞれHA, HB, HCを中心としOを通る円とBC, CA, ABの交点は第一ドローファルニー円上にある。
半径
[編集]第一ドロー＝ファルニー円の半径は次の式で表される。
一般化
[編集]第一ドローファルニー円は垂心と外心の関係の一つである等角共役を元に一般化できる[3]。
基準三角形△ABCについて、等角共役な点P, Qを用意する。Pの垂足三角形を△PAPBPCとする。それぞれPA, PB, PCを中心とし、Qを通る円とBC, CA, ABの交点は同一円周上にある。中心はPである。
この円をQに対して同様に作ったときP, Qに対する一般化された円の半径は等しくなる。Q = Oとしたときにできる円を第二ドロー＝ファルニー円（Second Droz-Farny circle）という。
次の定理はダオ・タイン・オアイによる一般化である[4]。
- 直線OA, OB, OC上にOOA = OOB = OOCを満たすように点OA, OB, OCを取る。この3点を中心とする同一半径の円と対応する中点三角形の辺の延べ6交点は共円である。
円内接四角形における類似物
[編集]円に内接し、対角線が直交する四角形の外心をO、反中心をHとする。Hのそれぞれの辺における直交射影を中心とするOを通る円と辺の交点延べ8点は共円である[5][6]。O, Hを入れ替えても主張は成立する。
出典
[編集]- ^ Johnson, Roger Arthur (1929). John Wesley Young. ed. Modern Geometry. Houghton, Mifflin company. pp. 256-258
- ^ Patrascu, Ion; Smarandache, Florentin (英語). Complements to Classic Topics of Circles Geometry. Infinite Study. pp. 55-62. ISBN 978-1-59973-465-1
- ^ Honsberger, Ross (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA. pp. 69-72
- ^ Dao, Thanh Oai. “Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) 1 (3): 13-20. ISSN 2367-7775.
- ^ Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011). “The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral”. Forum Geometricorum 11: 109–119.
- ^ Mammana, Maria Flavia; Ferrarello, Daniela; Pennisi, Mario (2013). “Some Concyclicity Properties of Convex Quadrilaterals”. Journal for Geometry and Graphics 27: 7-19.
参考文献
[編集]- Droz-Farny, Arnold (1901). “Notes sur un théorème de Steiner”. Mathesis 21: 22-34.
- Goormaghtigh, Rene (1950). “Droz-Farny's Theorem”. Scripta Mathematica 16: 268-271.
関連項目
[編集]外部リンク
[編集]- Weisstein, Eric W. "Droz-Farny Circles". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "First Droz-Farny Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Second Droz-Farny Circle". mathworld.wolfram.com (英語).